Als je ooit naar een reeks Tetris-achtige blokken hebt gestaard en je hebt afgevraagd wat ze nog meer zouden kunnen doen, dan kijk je naar polyomino’s. Dit zijn vormen gemaakt van vierkanten van gelijke grootte die van rand tot rand zijn verbonden. De naam ontstond in 1953 en was rechtstreeks ontleend aan dominostenen om deze meerhoekige tegels te beschrijven. Het omdraaien ervan telt niet als een nieuwe vorm als het stuk asymmetrisch is. Het gaat erom hoe je verschillende vormen telt.
De wiskunde hier is lastig. Hoewel het aantal verschillende polyomino’s afhangt van het aantal vierkanten, hebben wiskundigen nog steeds geen algemene formule gevonden om dit te voorspellen. De specifieke cijfers kennen we wel. Er zijn 35 verschillende hexomino’s (zes vierkanten) en 108 heptomino’s (zeven vierkanten), ervan uitgaande dat je die bizarre heptomino met een gat in het midden meetelt.
Waarom kun je geen rechthoek van 14×15 bouwen?
Recreatie met deze stukken omvat meestal combinatorische geometrie. Het doel is vaak om een oppervlak, zoals een schaakbord, onder strikte regels te bedekken. Neem de 35 hexomino’s. Hun totale oppervlakte is 210 vierkanten. Logischerwijs zou dat in rechthoeken zoals 3×70 of 14×15 moeten passen. Dat is niet het geval. Een dergelijke rechthoek kan niet worden gevormd. De geometrie laat het gewoon niet toe.
De pentomino’s zijn het bekendere publiek. Er zijn er twaalf, plus één enkele vierkante tetromino. Mensen weten sinds ongeveer 1935 dat deze 13 stukken een 8×8 dambord kunnen vullen. Maar hier is het addertje onder het gras. We weten niet hoeveel andere oplossingen er zijn. Schattingen suggereren minstens 1.000 manieren om het probleem op te lossen.
Het computeropgeloste centrum
In 1958 kwamen computers tussenbeide om de cijfers te verwerken. Ze bewezen dat er precies 65 oplossingen zijn waarbij de enkele vierkante tetromino perfect in het midden van het bord zit. Dat is een specifieke beperking die de chaos vermindert.
Waarom geven we om lege ruimtes en ontbrekende rechthoeken? Omdat de puzzel niet over de vorm zelf gaat. Het gaat over de grens van menselijke berekeningen. Een computer kan de 65 oplossingen in het midden-vierkant binnen enkele seconden vinden. Een mens moet raden, falen en opnieuw opstarten. De polyomino blijft een test van geduld. Je kunt de vierkanten rangschikken. Je kunt het bord bedekken. Maar je kunt niet altijd alle manieren vinden om het te doen. Niet eens in de buurt.
