Если вы когда-нибудь смотрели на набор блоков, похожих на Тетрис, и задавались вопросом, что ещё они могут делать, вы смотрели на полиомино. Это фигуры, состоящие из квадратов одинакового размера, соединённых сторонами. Название появилось в 1953 году, будучи заимствованным напрямую от слова «домино», чтобы описать эти многоквадратные плитки. Переворачивание их наизнанку не считается новой фигурой, если элемент асимметричен. Всё дело в том, как считать различные формы.
Математика здесь сложна. Хотя количество различных полиомино зависит от числа квадратов, математики до сих пор не нашли общей формулы для его предсказания. Мы знаем конкретные числа. Существует 35 различных гексамино (шесть квадратов) и 108 гептамино (семь квадратов), если учитывать то странное гептамино с дырой в центре.
Почему нельзя построить прямоугольник 14×15?
Игры с этими фигурами обычно связаны с комбинаторной геометрией. Цель часто состоит в том, чтобы покрыть поверхность, например, шахматную доску, соблюдая строгие правила. Возьмём 35 гексамино. Их общая площадь составляет 210 квадратов. Логически это должно помещаться в прямоугольники, такие как 3×70 или 14×15. Но это не так. Ни один такой прямоугольник сформировать нельзя. Геометрия просто не позволяет этого.
Пентамино — более известная группа. Их 12 штук, плюс один одиночный квадратный тетрамино. Люди знали ещё примерно с 1935 года, что эти 13 фигур могут заполнить шахматную доску 8×8. Но вот загвоздка. Мы не знаем, сколько существует других решений. Оценки предполагают, что способов решения как минимум 1000.
Центр, решённый компьютером
В 1958 году компьютеры взялись за подсчёты. Они доказали, что существует ровно 65 решений, при которых одиночный квадратный тетрамино идеально расположен в центре доски. Это конкретное ограничение снижает хаос.
Зачем нам нужны пустые места и отсутствующие прямоугольники? Потому что задача заключается не в самой форме. Она заключается в пределе человеческих вычислений. Компьютер может найти 65 решений с квадратом в центре за секунды. Человеку приходится гадать, ошибаться и начинать заново. Полиомино остаётся испытанием терпения. Вы можете расставить квадраты. Вы можете покрыть доску. Но вы не всегда можете найти все способы сделать это. Даже близко нет.
