Si vous avez déjà regardé un ensemble de blocs de type Tetris et vous demandez ce qu’ils pourraient faire d’autre, vous regardez des polyominos. Ce sont des formes constituées de carrés de tailles égales joints bord à bord. Le nom est arrivé en 1953, emprunté directement aux dominos pour décrire ces tuiles multicarrées. Les retourner ne compte pas comme une nouvelle forme si la pièce est asymétrique. Tout dépend de la façon dont vous comptez les formes distinctes.
Le calcul ici est délicat. Même si le nombre de polyominos distincts dépend du nombre de carrés, les mathématiciens n’ont toujours pas trouvé de formule générale pour le prédire. Nous connaissons cependant les chiffres précis. Il existe 35 hexominos distincts (six carrés) et 108 heptominos (sept carrés), en supposant que vous incluiez cet heptomino bizarre avec un trou au milieu.
Pourquoi ne pouvez-vous pas construire un rectangle de 14 x 15 ?
La récréation avec ces pièces implique généralement une géométrie combinatoire. Le but est souvent de recouvrir une surface, comme un échiquier, selon des règles strictes. Prenez les 35 hexominos. Leur superficie totale est de 210 carrés. Logiquement, cela devrait rentrer dans des rectangles comme 3×70 ou 14×15. Ce n’est pas le cas. Aucun rectangle de ce type ne peut être formé. La géométrie ne le permet tout simplement pas.
Les pentominos sont les plus connus. Il y en a 12, plus un seul tétromino carré. On sait depuis 1935 environ que ces 13 pièces peuvent remplir un damier 8×8. Mais voici le piège. Nous ne savons pas combien d’autres solutions existent. Les estimations suggèrent au moins 1 000 façons de le résoudre.
Le centre résolu par ordinateur
En 1958, les ordinateurs sont intervenus pour analyser les chiffres. Ils ont prouvé qu’il existe exactement 65 solutions dans lesquelles le tétromino carré unique se trouve parfaitement au centre du plateau. C’est une contrainte spécifique qui réduit le chaos.
Pourquoi nous soucions-nous des espaces vides et des rectangles manquants ? Parce que le puzzle ne concerne pas la forme elle-même. Il s’agit de la limite du calcul humain. Un ordinateur peut trouver les 65 solutions du carré central en quelques secondes. Un humain doit deviner, échouer et recommencer. Le polyomino reste une épreuve de patience. Vous pouvez disposer les carrés. Vous pouvez couvrir le tableau. Mais on ne trouve pas toujours tous les moyens de le faire. Même pas proche.
